SISTEMA DE TRANSFORMADA COM O SISTEMA  DE FUNÇÕES PROGRESSIMAL [SEQUENCIAL] INFINITESIMAL DE GRACELI. =

= [PK PH] =

Transformada bidimensional

A transformada de Radon bidimensional pode ser descrita por meio de diversas fórmulas. Uma delas é por meio de uma integral de linha:

${\displaystyle \phi (\rho ,\theta )\;=\;\int _{L}\cdot d\mathbf {l} \;=\;\int _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {l} \qquad (2a)}$  [PK PH] =   

onde r é o raio vetor do ponto definido pelas coordenadas x, no espaço de características, e L é a linha definida pelas coordenadas polares (ρ,θ) no espaço de Radon. Usando a convenção exposta mais acima, podemos escrever p = {ρ,θ} quando n = 2.

Definição da transformada bidimensional de Radon por meio da reta AA', expressão (2b) no texto.

Outra fórmula equivalente utiliza uma reta ξ, que passa pelo ponto x e pelo ponto p:

${\displaystyle \phi (\rho ,\mathbf {u_{\theta }} )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho \mathbf {u_{\theta }} \;+\;t\mathbf {v_{\theta }} )\;dt\qquad (2b)}$ 

[PK PH] =

onde u_θ é um vetor unitário na direção do ponto p, v_θ é um vetor unitário na direção da reta ξ (portanto, perpendicular a u_θ), e t é a distância do ponto x ao ponto p (na figura ao lado, a reta ξ é a reta AA', o ângulo θ é chamado de α, o vetor u_θ, de ${\displaystyle {\vec {n}}}$ e o raio vetor r é chamado de s; as coordenadas x são chamadas, como é usual, de x e y).^[7]

Uma terceira formulação utiliza a função impulso unitário δ(x)

Formalmente, a transformada discreta de Hartley é a função H : Rⁿ -> Rⁿ (onde R denota o conjunto dos números reais). A sequência de N valores reais originais x₀, ...., x_N-1 é transformada na sequência de N valores reais H₀, ..., H_N-1 de acordo com a fórmula

${\displaystyle H_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)+\sin \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}$ 

[PK PH] =

A expressão ${\displaystyle \cos(z)+\sin(z)\!}$ ${\displaystyle ={\sqrt {2}}\cos(z-{\frac {\pi }{4}})}$ é algumas vezes denotada ${\displaystyle \mathrm {cas} (z)\!}$. Contraste-se com a expressão ${\displaystyle e^{-iz}=\cos(z)-i\sin(z)\!}$ (onde i é a unidade dos números imaginários), que aparece na definição da DFT.

Como acontece com a DFT, o fator de escalamento e o sinal do termo do seno são matéria convencional e, embora variem entre os diversos autores, não afetam as propriedades essenciais da transformada.

Em matemática, a transformada identidade é uma transformada integral cujo núcleo é a função delta de Dirac:

${\displaystyle {\mathcal {I}}\{f(x)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\cdot \delta (u\;-\;x)\;du}$   [PK PH] =

A transformação deve seu nome ao fato de mapear uma função qualquer f(x) nela mesma:

${\displaystyle {\mathcal {I}}\{f(x)\}=f(x)}$^[1]   [PK PH] =

Em matemática, uma transformada integral é qualquer transformação linear T da seguinte forma:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt.}$    [PK PH] =

A entrada desta transformada é uma função f, e o resultado é outra função Tf. Uma transformada integral é uma espécie particular de operadores matemáticos.

Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da função K, que é chamada de kernel (ou núcleo) da transformada, e dos limites de integração ${\displaystyle t_{1}}$ e ${\displaystyle t_{2}}$. A conveniência de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependência temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependência espacial.

A transformada de Fourier quântica é a transformada de Fourier discreta clássica aplicada ao vetor de amplitudes de um estado quântico, onde geralmente consideramos vetores de comprimento ${\displaystyle N=2^{n}}$ .

A transformada de Fourier clássica atua em um vetor ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}$ e mapeia para o vetor ${\displaystyle (y_{0},y_{1},\ldots ,y_{N-1})\in \mathbb {C} ^{N}}$ de acordo com a fórmula:

${\displaystyle y_{k}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\omega _{N}^{-kn},\quad k=0,1,2,\ldots ,N-1,}$  [PK PH] =

Onde ${\displaystyle \omega _{N}=e^{\frac {2\pi i}{N}}}$ e ${\displaystyle \omega _{N}^{n}}$ é um N ^th raiz da unidade .

Da mesma forma, a transformada quântica de Fourier atua em um estado quântico ${\displaystyle |x\rangle =\sum _{i=0}^{N-1}x_{i}|i\rangle }$ e mapeia para um estado quântico ${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}y_{i}|i\rangle }$ de acordo com a fórmula:

${\displaystyle y_{k}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\omega _{N}^{nk},\quad k=0,1,2,\ldots ,N-1,}$ 

[PK PH] =

(As convenções para o sinal do expoente do fator de fase variam; aqui usamos a convenção de que a transformada de Fourier quântica tem o mesmo efeito que a transformada de Fourier discreta inversa e vice-versa. )

Desde a ${\displaystyle \omega _{N}^{n}}$ é uma rotação, a transformada quântica inversa de Fourier age de forma semelhante, mas com:

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k=0}^{N-1}y_{k}\omega _{N}^{-nk},\quad n=0,1,2,\ldots ,N-1,}$ 

[PK PH] =

Em caso de ${\displaystyle |x\rangle }$ é um estado básico, a transformada quântica de Fourier também pode ser expressa como o mapa

${\displaystyle {\text{QFT}}:|x\rangle \mapsto {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k=0}^{N-1}\omega _{N}^{xk}|k\rangle .}$   [PK PH] =

A transformada real de Fourier R(ν) de uma função f(t) é definida pelas expressões

${\displaystyle R(\nu )\;=\;{\mathcal {R}}f(t)\}\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \cos(2\pi \nu t\;+\;\theta (\nu ))\;dt\;\;\;\;\;(1a)}$ [PK PH] =

Definição (transformada z bilateral)

Seja ${\displaystyle x[n]}$ definida para ${\displaystyle n\in {\bf {Z}}}$. A Transformada Z bilateral da função ${\displaystyle x[n]}$ é dada por:

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\cdots +\ x[-2]z^{2}\ +\ x[-1]z\ +\ x[0]\ +\ x[1]z^{-1}\ +\ x[2]z^{-2}\ +\ \cdots }$

[PK PH] =

${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$ 

[PK PH] = 

onde ${\displaystyle C}$ é qualquer curva fechada contendo a origem de forma que a integral indicada converge.

A transformada Z de chirp (CZT) é uma generalização da transformada discreta de Fourier (DFT). Enquanto a DFT faz a amostragem do plano Z em pontos uniformemente espaçados ao longo do círculo unitário, as amostras da transformada Z de chirp ao longo de arcos espirais no plano Z, correspondendo a linhas retas no plano S.^[1][2]

Especificamente, a transformada Z de chirp calcula a transformada Z em um número finito de pontos z_k ao longo de um contorno espiral logarítmico, definido como:^[1][3]

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)z_{k}^{-n}}$       [PK PH] =

${\displaystyle z_{k}=A\cdot W^{-k},k=0,1,\dots ,M-1}$