SISTEMA DE TRANSFORMADA COM O SISTEMA  DE FUNÇÕES PROGRESSIMAL [SEQUENCIAL] INFINITESIMAL DE GRACELI. =

= PK PH =

A transformada binomial, T, de uma seqüência, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, é a seqüência ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ definida como

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}}$    [PK PH] =

Formalmente, a transformação escreve-se como ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n}}$ , onde T é um operador de dimensão infinita com uma matriz de elementos ${\displaystyle T_{nk}}$:

${\displaystyle s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}}$   [PK PH] =

Em Matemática, a Transformada de Abel, enunciada por Niels Henrik Abel, é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra^[1] e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita.^[2] Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}}$, cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão.^[3]

A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f(r) é dada por:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$    [PK PH] =

Diversas notações são convencionadas para denotar a transformação de Fourier de uma função ${\displaystyle \mathrm {f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } }$. Utilizaremos a seguinte representação:

$${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\omega )\equiv F(\omega )\equiv {\mathcal {F}}\{f(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-i\omega t}\operatorname {d} \!t} \ \ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Transformada\ de\ Fourier\ }}\\&{\mathsf {do\ dominio\ do\ tempo\ }}\end{aligned}}}$$

[PK PH] =

$${\displaystyle \mathrm {f(t)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\ e^{i\omega t}\operatorname {d} \!\omega \ \ \ \ \ \ \omega \equiv 2\pi f} \ {\mathsf {(Frequ{\hat {e}}ncia\ angular)}}}$$

[PK PH] =

$${\displaystyle \mathrm {{\hat {f}}(\kappa )\equiv F(\kappa )\equiv {\mathcal {F}}\{f(x)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i\kappa x}\operatorname {d} \!x} \ \ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Transformada\ de\ Fourier\ }}\\&{\mathsf {do\ dominio\ do\ espaco\ }}\end{aligned}}}$$

[PK PH] =

$${\displaystyle \mathrm {f(x)\equiv {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\kappa )\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\kappa )\ e^{i\kappa x}\operatorname {d} \!\kappa \ \ \ \ \ \kappa \equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}} \ {\mathsf {(Vetor\ de\ onda)}}}$$

[PK PH] =

A afirmação de que ${\displaystyle \mathrm {f} }$ pode ser reconstruída a partir de ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$ é conhecida como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido no estudo Analytical Theory of Heat, de Fourier, apesar de que a definição moderna de demonstração teria sido construída muito tempo depois. As funções ${\displaystyle \mathrm {f} }$ e ${\displaystyle \mathrm {\hat {f}} }$ são conhecidas como par integral de Fourier.

A transformada de Gabor, em homenagem a Dennis Gabor, é um caso especial da Transformada de Fourier de Tempo Curto. É utilizada para determinar a frequência senoidal e o conteúdo da fase das seções locais de um sinal à medida que muda ao longo do tempo. A função a ser transformada é multiplicada primeiramente por uma função Gaussiana, que pode ser considerada como uma função de janela, e a função resultante é então transformada com uma transformada de Fourier para derivar a [[análise tempo-frequência].^[1] A função de janela indica que o sinal próximo ao tempo analisado terá maior peso. A transformada de Gabor de um sinal x(t) é definida por esta fórmula:

${\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt}$   [PK PH] =

A Transformada de Haar é um transformada matemática discreta usada no processamento e análise de sinais, na compressão de dados e em outras aplicações de engenharia e ciência da computação. Ela foi proposta em 1909 pelo matemático húngaro Alfred Haar. A transformada de Haar é um caso particular de transformada discreta de wavelet, onde o wavelet é um pulso quadrado definido por:

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1,&0\leq t<0.5\\-1,&0.5\leq t<1.\\0,&{\mbox{para outros valores de }}t\end{cases}}}$

Na figura vemos ilustrada a wavelet de Haar. Apesar de ter sido proposta muito antes do termo wavelet^[1] ser cunhado, a wavelet de Haar é considerada como um caso particular das wavelets de Daubechies, conhecida por isso como wavelet de Daubechies D2.

A transformada de Haar pode ser usada para representar um grande número de funções ${\displaystyle f(t)}$ como sendo o somatório:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}\phi (t-k)}+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\sum _{j=0}^{\infty }{d_{j,k}\psi (2^{j}t-k)}},}$[PK PH] = 

Em matemática, a transformada de Hartley é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de (i) evitar a presença de números complexos no cálculo^{[nota 1]} e (ii) ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por R. V. L. Hartley em 1942^[1] para aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas não despertou muito interesse até a década de 1980, após as pesquisas de Z. Wang e R. N. Bracewell^[2] (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). A versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley, foi introduzida por Bracewell em 1983.^[3]

A transformada de Hartley em duas dimensões pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a transformada óptica de Fourier, com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa.^[4]

Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a série de Hartley, que funciona de forma similar à série de Fourier.^[5]

Definição

A transformada de Hartley de uma função f(t) é definida por:

${\displaystyle H(\omega )\;=\;{\mathcal {H}}\{f(t)\}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot {\mbox{cas}}(\omega t)\;dt\;\;\;\;\;(1a)}$

[PK PH] =

A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}}(x)\;=\;{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(u)}{u-x}}\;du\;\;\;\;\;(1a)}$[PK PH] =

A transformação de Karhunen-Loève é representada por uma matriz, denotada aqui por V, que, multiplicada por um vetor f que representa o sinal discreto de entrada, resulta no vetor O que representa o sinal de saída (transformada): O = V · f^T, onde o superscrito T indica a matriz transposta.

O sinal de entrada considerado é uma sequência de valores complexos aleatória, frequentemente modelada por um sinal estático de Markov de primeira ordem (ou simplesmente sinal de Markov-1), isto é, um vetor cuja matriz de autocorrelação A possui coeficientes a_ij de acordo com a expressão

${\displaystyle a_{ij}\;=\;\rho ^{|i\;-\;j|}\qquad (1a)}$    [PK PH] =

Em matemática, a transformada de Laplace bilateral é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, a transformada de Mellin e a transformada de Laplace. Se ƒ(t) é uma função de uma variável real t definida para todos os números reais, a transformada de Laplace bilateral é definida pela integral

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$  [PK PH] =

Essa integral é frequentemente uma integral imprópria, que converge se e somente se cada uma das integrais

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$ [PK PH] =

existir. Alguns autores usam a notação alternativa

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

[PK PH] =

Em aplicações de física e engenharia, a função original geralmente tem como variável independente o tempo (t), e ${\displaystyle f(t)}$ representa um sinal que varia no tempo. A função transformada tem como variável independente a frequência real (ω) ou a frequência complexa (s), e ${\displaystyle F(s)}$ ou ${\displaystyle F(}$ω${\displaystyle )}$ são os componentes desse sinal em cada frequência.

Em aplicações de estatística, a função original geralmente é a densidade de probabilidade de uma distribuição, e a função transformada, os momentos dessa distribuição.

A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função ${\displaystyle Y=Y_{(X_{0},X_{1},X_{2},...X_{n})}}$ sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes ${\displaystyle x_{i}}$ , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais ${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial Y_{(X_{0},X_{1},...X_{n})}}{\partial x_{i}}}}$ [PK PH] =

Em matemática a transformada de Mellin de uma função^{[nota 1]} ${\displaystyle f}$, definida sobre o eixo real positivo, é a integral

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f(t)\}\;=\;F(s)\;=\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t^{s-1}\;dt\qquad (1a)}$ 

[PK PH] =

para a variável complexa s, desde que a integral seja convergente.